Številni študentje, ki v višjih letih študirajo višjo matematiko, so se verjetno vprašali: kje se v praksi uporabljajo diferencialne enačbe (DE)? O tem vprašanju praviloma ne govorijo na predavanjih in učitelji takoj preidejo na reševanje DE, ne da bi študentom pojasnili uporabo diferencialnih enačb v resničnem življenju. Poskusili bomo zapolniti to vrzel.
Začnimo z opredelitvijo diferencialne enačbe. Torej, diferencialna enačba je enačba, ki povezuje vrednost izpeljave funkcije s samo funkcijo, vrednostmi neodvisne spremenljivke in nekaterimi števili (parametri).
Najpogostejše področje, na katerem se uporabljajo diferencialne enačbe, je matematični opis naravnih pojavov. Uporabljajo se tudi pri reševanju problemov, pri katerih je nemogoče vzpostaviti neposredno povezavo med nekaterimi vrednotami, ki opisujejo postopek. Takšni problemi se pojavljajo v biologiji, fiziki, ekonomiji.
V biologiji:
Prvi smiselni matematični model, ki opisuje biološke skupnosti, je bil model Lotka - Volterra. Opisuje populacijo dveh interaktivnih vrst. Prvi med njimi, imenovani plenilci, v odsotnosti drugega izumre po zakonu x ′ = –ax (a> 0), drugi - plen - pa se v odsotnosti plenilcev neomejeno množi v skladu z zakonom Malthusa. Interakcija teh dveh vrst je oblikovana na naslednji način. Žrtve izumrejo s hitrostjo, ki je enaka številu srečanj plenilcev in plena, kar naj bi bilo v tem modelu sorazmerno z velikostjo obeh populacij, torej enako dxy (d> 0). Zato je y ′ = by - dxy. Plenilci se razmnožujejo s hitrostjo, ki je sorazmerna s številom pojedenega plena: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistem enačb
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = po - dxy, (2)
plenilec-plen, ki opisuje takšno populacijo, se imenuje sistem Lotka-Volterra (ali model).
V fiziki:
Newtonov drugi zakon lahko zapišemo v obliki diferencialne enačbe
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kjer je m masa telesa, x njegova koordinata, F (x, t) sila, ki deluje na telo s koordinato x v času t. Njegova rešitev je usmeritev telesa pod delovanjem določene sile.
V ekonomiji:
Model naravne rasti proizvodnje
Predvidevali bomo, da se nekateri izdelki prodajajo po fiksni ceni P. Naj Q (t) označuje količino izdelkov, prodanih v času t; potem je v tem trenutku dohodek enak PQ (t). Del navedenega dohodka naj porabi za naložbe v proizvodnjo prodanih izdelkov, t.j.
I (t) = mPQ (t), (1)
kjer je m stopnja naložbe - konstantno število in 0
